simhash算法的原理

作者:heyue 时间:2013-01-06 分类:未分类 评论:3 条 浏览:4013

第一次听说google的simhash算法[1]时,我感到很神奇。传统的hash算法只负责将原始内容尽量均匀随机地映射为一个签名值,原理上相当于伪随机数产生算法。传统hash算法产生的两个签名,如果相等,说明原始内容在一定概率下是相等的;如果不相等,除了说明原始内容不相等外,不再提供任何信息,因为即使原始内容只相差一个字节,所产生的签名也很可能差别极大。从这个意义上来说,要设计一个hash算法,对相似的内容产生的签名也相近,是更为艰难的任务,因为它的签名值除了提供原始内容是否相等的信息外,还能额外提供不相等的原始内容的差异程度的信息。

因此当我知道google的simhash算法产生的签名,可以用来比较原始内容的相似度时,便很想了解这种神奇的算法的原理。出人意料,这个算法并不深奥,其思想是非常清澈美妙的。

simhash算法的输入是一个向量,输出是一个f位的签名值。为了陈述方便,假设输入的是一个文档的特征集合,每个特征有一定的权重。比如特征可以是文档中的词,其权重可以是这个词出现的次数。simhash算法如下:

1
2
3
4
5
6
1,将一个f维的向量V初始化为0;f位的二进制数S初始化为0;
2,对每一个特征:用传统的hash算法对该特征产生一个f位的签名b。对i=1到f:
    如果b的第i位为1,则V的第i个元素加上该特征的权重;
    否则,V的第i个元素减去该特征的权重。 
3,如果V的第i个元素大于0,则S的第i位为1,否则为0;
4,输出S作为签名。

这个算法的几何意义非常明了。它首先将每一个特征映射为f维空间的一个向量,这个映射规则具体是怎样并不重要,只要对很多不同的特征来说,它们对所对应的向量是均匀随机分布的,并且对相同的特征来说对应的向量是唯一的就行。比如一个特征的4位hash签名的二进制表示为1010,那么这个特征对应的4维向量就是(1, -1, 1, -1)T,即hash签名的某一位为1,映射到的向量的对应位就为1,否则为-1。然后,将一个文档中所包含的各个特征对应的向量加权求和,加权的系数等于该特征的权重。得到的和向量即表征了这个文档,我们可以用向量之间的夹角来衡量对应文档之间的相似度。最后,为了得到一个f位的签名,需要进一步将其压缩,如果和向量的某一维大于0,则最终签名的对应位为1,否则为0。这样的压缩相当于只留下了和向量所在的象限这个信息,而64位的签名可以表示多达264个象限,因此只保存所在象限的信息也足够表征一个文档了。

明确了算法了几何意义,使这个算法直观上看来是合理的。但是,为何最终得到的签名相近的程度,可以衡量原始文档的相似程度呢?这需要一个清晰的思路和证明。在simhash的发明人Charikar的论文中[2]并没有给出具体的simhash算法和证明,以下列出我自己得出的证明思路。

Simhash是由随机超平面hash算法演变而来的,随机超平面hash算法非常简单,对于一个n维向量v,要得到一个f位的签名(f<<n),算法如下:

1
2
1,随机产生f个n维的向量r1,…rf;
2,对每一个向量ri,如果v与ri的点积大于0,则最终签名的第i位为1,否则为0.

这个算法相当于随机产生了f个n维超平面,每个超平面将向量v所在的空间一分为二,v在这个超平面上方则得到一个1,否则得到一个0,然后将得到的f个0或1组合起来成为一个f维的签名。如果两个向量u, v的夹角为θ,则一个随机超平面将它们分开的概率为θ/π,因此u, v的签名的对应位不同的概率等于θ/π。所以,我们可以用两个向量的签名的不同的对应位的数量,即汉明距离,来衡量这两个向量的差异程度。

Simhash算法与随机超平面hash是怎么联系起来的呢?在simhash算法中,并没有直接产生用于分割空间的随机向量,而是间接产生的:第k个特征的hash签名的第i位拿出来,如果为0,则改为-1,如果为1则不变,作为第i个随机向量的第k维。由于hash签名是f位的,因此这样能产生f个随机向量,对应f个随机超平面。下面举个例子:

假设用5个特征w1,…,w5来表示所有文档,现要得到任意文档的一个3维签名。假设这5个特征对应的3维向量分别为:

h(w1) = (1, -1, 1)T

h(w2) = (-1, 1, 1)T

h(w3) = (1, -1, -1)T

h(w4) = (-1, -1, 1)T

h(w5) = (1, 1, -1)T

按simhash算法,要得到一个文档向量d=(w1=1, w2=2, w3=0, w4=3, w5=0) T的签名,

先要计算向量m = 1*h(w1) + 2*h(w2) + 0*h(w3) + 3*h(w4) + 0*h(w5) = (-4, -2, 6) T

然后根据simhash算法的步骤3,得到最终的签名s=001。

上面的计算步骤其实相当于,先得到3个5维的向量,第1个向量由h(w1),…,h(w5)的第1维组成:

r1=(1,-1,1,-1,1) T

第2个5维向量由h(w1),…,h(w5)的第2维组成:

r2=(-1,1,-1,-1,1) T

同理,第3个5维向量为:

r3=(1,1,-1,1,-1) T.

按随机超平面算法的步骤2,分别求向量d与r1,r2,r3的点积:

d T r1=-4 < 0,所以s1=0;

d T r2=-2 < 0,所以s2=0;

d T r3=6 > 0,所以s3=1.

故最终的签名s=001,与simhash算法产生的结果是一致的。

从上面的计算过程可以看出,simhash算法其实与随机超平面hash算法是相同的,simhash算法得到的两个签名的汉明距离,可以用来衡量原始向量的夹角。这其实是一种降维技术,将高维的向量用较低维度的签名来表征。衡量两个内容相似度,需要计算汉明距离,这对给定签名查找相似内容的应用来说带来了一些计算上的困难;我想,是否存在更为理想的simhash算法,原始内容的差异度,可以直接由签名值的代数差来表示呢?

附参考文献:

[1] Detecting near-duplicates for web crawling.

[2] Similarity estimation techniques from rounding algorithms.

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Locality_sensitive_hashing

[4] http://www.coolsnap.net/kevin/?p=23

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